Tanto per provare la codifica LaTeX fornita con il plugin Jetpack per WordPress vi mostro la dimostrazione analitica dell’uguaglianza tra 0.9 e 1:

Partendo dallo sviluppo dell’espansione decimale di un numero si ha:

a_0,b_1b_2b_3...=
=a_0\cdot10^0+b_1\cdot10^{-1}+b_2\cdot10^{-2}+b_3\cdot10^{-3}...=
=a_0\cdot10+b_1\cdot\frac{1}{10^1}+b_2\cdot\frac{1}{10^2}+b_3\cdot\frac{1}{10^3}...

Quindi:

0,999...=0\cdot10^0+\frac{9}{10^1}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}...

Che si può riscrivere come serie geometrica:

0,\overline9 = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{9}{10^n}

Quindi:

0,\overline9 =\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{9}{10^n} = 9 \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^n = 9 \left(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{10}\right)^n - 1\right) =
9 \left(\frac{1}{1-\left(\frac{1}{10}\right)} -1\right) = 9 \left(\frac{1}{\frac{9}{10}} -1\right) = 9 \left(\frac{10}{9} -\frac{9}{9}\right) = 9 \left(\frac{1}{9}\right) = 1

E così termina la dimostrazione.

Conclusioni? Non tentate mai di scrivere codice LaTeX a mano!!! 😀

P.S.
Per dovere di cronaca vi informo che esiste una dimostrazione molto più semplice della relazione 0.9 = 1, ma non altrettanto divertente. Inoltre la sua esposizione non mi avrebbe permesso di provare il LaTeX. Comunque ora la riporto in breve:

x = 0.9
10x = 9.9
10x – x = 9.9 – 0.9
9x = 9
x = 1